此资源是我自己以前写的一篇随笔（word格式），对牛顿迭代法进行了讲解，并利用matlab进行一元非线性方程以及多元非线性方程组的仿真，附带详细注释，并输出每次迭代的结果，对于学习牛顿迭代法和matlab的新手会有帮助
### 牛顿迭代法求解一元与多元非线性方程组
#### 牛顿迭代法概述
牛顿迭代法是一种高效的数值方法，用于求解非线性方程及方程组。该方法的基本思想是通过泰勒展开将复杂的非线性问题转化为一系列线性问题来逐步逼近真实的解。
#### 一元非线性方程求解
在一元非线性方程求解中，牛顿迭代法的核心步骤包括：
1. **初始化**: 给定初始估计值 \( x_0 \) 和一个迭代终止条件 \(\epsilon\)。
2. **迭代过程**:
- 对函数 \( f(x) \) 在当前估计值 \( x_k \) 处进行一次泰勒展开。
- 计算函数 \( f(x) \) 及其导数 \( f'(x) \) 的值。
- 更新估计值 \( x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \)。
3. **终止条件**: 当满足 \( |x_{k+1} - x_k| < \epsilon \) 或 \( |f(x_{k+1})| < \epsilon \) 时，停止迭代。
#### MATLAB 示例
给定方程为 \( f(x) = x^{3/2} + 2^x - 24 \)，我们知道其解为 \( x = 4 \)。下面给出MATLAB代码示例：
```matlab
syms a % 定义符号变量
f(a) = a^(3/2) + 2^a - 24; % 定义方程
df(a) = diff(f(a), a); % 求导数
% 初始化迭代
x(1) = 0; % 初始估计值
dt(1) = 1; % 初始迭代增量
ii = 1;
% 迭代计算
while abs(dt(ii)) > 1e-3 % 迭代终止条件
ii = ii + 1;
dt(ii) = -f(x(ii-1))/df(x(ii-1)); % 更新增量
x(ii) = x(ii-1) + dt(ii); % 更新估计值
end
% 结果可视化
figure
plot(x)
xlabel('迭代次数')
ylabel('迭代值')
grid on
```
#### 多元非线性方程组求解
对于多元非线性方程组的求解，牛顿迭代法的基本步骤相似，但需要考虑偏导数矩阵（雅克比矩阵）的构造与求逆。
1. **初始化**: 给定初始估计值 \( \mathbf{x}_0 \) 和迭代终止条件 \(\epsilon\)。
2. **迭代过程**:
- 计算雅克比矩阵 \( J(\mathbf{x}_k) \)。
- 更新估计值 \( \mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k - [J(\mathbf{x}_k)]^{-1} \cdot F(\mathbf{x}_k) \)。
3. **终止条件**: 当满足 \( \| \mathbf{x}_{k+1} - \mathbf{x}_k \| < \epsilon \) 或 \( \| F(\mathbf{x}_{k+1}) \| < \epsilon \) 时，停止迭代。
#### MATLAB 示例
假设我们有一个由三个观测方程组成的多元非线性方程组：
\[
F(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix}
f_1(x, y, z) \\
f_2(x, y, z) \\
f_3(x, y, z)
\end{bmatrix}
\]
其中，
\[
f_1(x, y, z) = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2,
\]
\[
f_2(x, y, z) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2,
\]
\[
f_3(x, y, z) = (x - 7)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2.
\]
我们知道方程组的解为 \( (x, y, z) = (3, 2, 1) \)。
下面是对应的MATLAB代码示例：
```matlab
syms x y z xn yn zn % 定义符号变量
f(x, y, z, xn, yn, zn) = (x - xn)^2 + (y - yn)^2 + (z - zn)^2; % 观测方程
f1(x, y, z) = f(x, y, z, 3, 2, 4); % 在测量点1(3,2,4)处观测
f1_result = f(3, 2, 1, 3, 2, 4); % 得到的观测量1
f2(x, y, z) = f(x, y, z, 1, 2, 2); % 在测量点2(1,2,2)处观测
f2_result = f(3, 2, 1, 1, 2, 2); % 得到的观测量2
f3(x, y, z) = f(x, y, z, 7, 2, 3); % 在测量点3(7,2,3)处观测
f3_result = f(3, 2, 1, 7, 2, 3); % 得到的观测量3
% 方程描述
disp(['观测方程:'])
XX = [f1(x, y, z), f1_result; f2(x, y, z), f2_result; f3(x, y, z), f3_result];
disp(XX)
disp(['偏微分方程:'])
G(x, y, z) = [diff(f1, x), diff(f1, y), diff(f1, z); ...
diff(f2, x), diff(f2, y), diff(f2, z); ...
diff(f3, x), diff(f3, y), diff(f3, z)]; % 求偏微分
disp(G(x, y, z))
% 牛顿迭代
X(:, 1) = [0, 0, 0]'; % 初始估计值
dt(1) = 1; % 初始迭代增量
ii = 1;
% 迭代计算
while abs(dt(ii)) > 1e-3
ii = ii + 1;
B = [f1_result - f1(X(1, ii-1), X(2, ii-1), X(3, ii-1)); ...
f2_result - f2(X(1, ii-1), X(2, ii-1), X(3, ii-1)); ...
f3_result - f3(X(1, ii-1), X(2, ii-1), X(3, ii-1))];
DX = inv(G(X(1, ii-1), X(2, ii-1), X(3, ii-1))) * B; % G * DX = B
X(:, ii) = X(:, ii-1) + DX; % 更新估计值
dt(ii) = sqrt(DX(1)^2 + DX(2)^2 + DX(3)^2); % 更新增量
end
% 结果可视化
n = 1:ii;
figure
plot(n, X(1, :), n, X(2, :), n, X(3, :))
xlabel('迭代次数')
ylabel('迭代结果')
legend('X', 'Y', 'Z')
grid on
```
#### 小结
通过以上示例可以看出，无论是对于一元还是多元非线性方程，牛顿迭代法都能提供一种有效的数值解法。特别地，MATLAB提供了强大的工具支持此类算法的实现与可视化，使得学习者能够直观地理解牛顿迭代法的工作原理及其应用。
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