在本数字信号处理实验报告中，我们探讨了离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）及其在MATLAB环境中的应用。实验涵盖了信号的卷积、傅里叶变换以及噪声对信号的影响。
我们观察到信号`x`和滤波器`h`都是由四个1组成的序列。通过MATLAB的`conv`函数进行了这两个序列的卷积，得到的结果`y`被用`stem`函数在第一副图中表示出来。卷积在信号处理中常用于模拟线性时不变系统对输入信号的影响。
接着，为了利用FFT进行计算，原始序列`x`和`h`都通过添加零值扩展到了8个元素（`x_ex`和`h_ex`）。然后，分别对扩展后的序列进行FFT计算得到`X`和`H`。通过点乘（.*）操作后，再用`ifft`进行逆傅里叶变换得到`y_fast`，其结果同样用`stem`函数在第二副图中展示。这里，FFT提供了一种更高效的方式来执行离散时间信号的卷积。
此外，实验还对比了使用直接DFT（dft函数）与FFT（fft函数）计算卷积的结果。在第三副图中，我们看到`y_dft`是直接DFT方法得到的结果，其绝对值被用来绘制。这进一步验证了FFT在计算效率上的优势。
实验进一步探讨了DFT在频域分析中的应用。给定一个10点的信号`x`，它是两个不同频率正弦波的组合。通过对信号进行10点DFT，我们在第四副图中展示了其频谱，其中频率以π单位表示。通过补零将信号扩展到100点，并再次进行DFT，我们得到了第五副图的“补零后频谱”。这显示了补零如何提高频率分辨率。第六副图则展示了当抽样点数进一步增加到50点时，频谱的变化。
实验引入了随机噪声来污染信号。原始信号`x`是一个基于余弦函数的序列，而`noise_x`是添加了高斯白噪声的版本。对噪声污染的信号进行FFT后，我们在第七副图中描绘了其频谱，这揭示了噪声在频域中的分布。
通过这个实验，我们可以深入理解DFT、FFT以及它们在数字信号处理中的作用，包括信号的卷积、频谱分析以及噪声对信号的影响。同时，实验也强调了采样点数对频谱分辨率的重要性。
