根据给定文件的信息，我们可以总结出以下相关的知识点：
### 一、极限与连续问题解题思路
#### 极限的基本概念
- **极限定义与性质**：了解极限的基本定义及其性质，例如唯一性、保号性等。
- **四则与复合运算法则**：掌握在极限运算中四则运算及复合函数的极限法则。
- **标准极限**：学习并熟练掌握常见的标准极限，如\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，这些极限常常作为解题的基础。
- **无穷小量与无穷大量**：理解无穷小量与无穷大量的概念及其排序原则，学会通过无穷小量进行极限的简化计算。
- **极限存在准则**：了解并掌握柯西准则等极限存在的必要条件。
- **无穷小量替换**：学会利用等价无穷小进行替换简化极限计算。
- **罗必达法则**：掌握罗必达法则的应用条件及步骤，用于解决“0/0”、“∞/∞”型未定式的极限问题。
- **用定积分定义求极限**：了解如何将某些极限形式转换为定积分的形式进行求解。
- **若干可供利用的极限结论**：积累常用的极限结论，提高解题效率。
#### 连续性的基本概念
- **极限与点连续的等价描述**：理解极限与连续之间的关系，掌握连续性的定义及其与极限的关系。
- **点连续的三要素**：了解函数在某点连续的三个必要条件。
- **点连续的重要性质**：掌握连续函数的重要性质，如介值定理等。
- **闭区间上连续函数的性质**：熟悉闭区间上连续函数的基本性质，包括有界性、最值定理等。
- **开区间上连续函数的情况**：了解开区间上连续函数的特点与限制。
#### 解题实例分析
- **例题1**：计算\(\lim_{x \to 0} (\ln(1+x^2) + \cos x)\)。此题可通过无穷小量的替换和极限的运算性质来解决。
- **例题2**：求极限\(\lim_{x \to 0} \left[\frac{1 - \cos x}{x^2}\right]\)。此题可通过洛必达法则或无穷小量的性质来解答。
- **例题3**：求\(\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\)。此题的关键在于对标准极限的运用。
### 二、函数性态的研究
#### 函数与导函数的零点问题
- **函数零点**：研究函数\(f(x)\)的零点性质，掌握寻找函数零点的方法。
- **导函数零点**：探索导函数\(f'(x)\)的零点对原函数的影响，如极值点的存在性。
#### 增减性与凸性、极值点与拐点
- **增减性**：通过导数判断函数的单调性，掌握判断函数增减性的方法。
- **凸性**：利用二阶导数研究函数的凹凸性。
- **极值点**：确定函数的极值点，了解极值点的判定方法。
- **拐点**：寻找函数的拐点，理解拐点的概念及其意义。
#### 不等式分析与证明问题
- **不等式的证明**：掌握证明不等式的常用方法，如均值不等式、柯西不等式等。
### 三、积分技巧训练、定积分概念与性质综合问题
#### 积分技巧训练
- **不定积分技巧**：掌握各种积分技巧，如换元法、分部积分法、部分分式分解等。
- **定积分计算**：学习定积分的计算方法，包括直接计算、换元法、分部积分等。
#### 定积分概念与性质
- **定积分定义**：理解定积分的定义及其几何意义。
- **定积分性质**：掌握定积分的基本性质，如线性性、加性、单调性等。
- **变上限积分**：学习变上限积分的概念及性质。
### 四、定积分应用问题
- **面积计算**：利用定积分计算平面图形的面积。
- **体积计算**：通过旋转体的体积公式计算立体的体积。
- **物理应用**：解决与物理有关的问题，如功、压力等。
### 五、级数的收敛性分析、幂级数展开与求和
#### 级数的收敛性
- **级数收敛的定义**：理解级数收敛的基本定义。
- **级数收敛的判别法**：掌握级数收敛的各种判别法，如比值判别法、根值判别法等。
#### 幂级数展开与求和
- **幂级数展开**：学习如何将函数展开为幂级数。
- **幂级数求和**：掌握幂级数求和的方法及应用。
通过以上知识点的学习与掌握，可以有效地提高解题能力，并为后续更深入的数学学习打下坚实的基础。
