EM算法简介及实现_课件

EM算法，全称为期望最大化（Expectation-Maximization），是一种在处理含有隐藏变量的概率模型中的参数估计方法。它由Dempster、Laird和Rubin在1977年提出，主要用于在不完全数据情况下寻找最大似然估计。EM算法在数理统计、数据挖掘、机器学习和模式识别等多个领域有着广泛的应用。 在EM算法中，通常面临的问题是观测数据不完全，存在一些未观测到的隐藏变量。以高斯混合模型为例，假设我们有一系列的观测数据y，它们来自于多个高斯分布的混合，但每个观测点具体属于哪个高斯分布（即隐藏变量z）是未知的。高斯混合模型可以表示为： \[ P(y|\theta) = \sum_{k=1}^{K} \pi_k N(y|\mu_k, \Sigma_k) \] 其中，\( \theta \)包含了所有参数，\( \pi_k \)是第k个高斯分布的权重，\( \mu_k \)是均值，\( \Sigma_k \)是协方差矩阵，K是高斯分布的总数。 EM算法通过迭代来逐步逼近最优参数估计。算法主要包含两个步骤：E-step（期望步骤）和M-step（最大化步骤）。 1. E-step（期望步骤）： 在当前参数估计 \( \theta_t \) 的条件下，计算每个观测点属于每个高斯分布的概率（后验概率），即责任分配 \( Q(z_i=k|y_i, \theta_t) \)。这个概率表示了观测点y_i在第k个高斯分布下产生的可能性。 2. M-step（最大化步骤）： 基于E-step得到的后验概率，更新参数 \( \theta \) 以最大化期望对数似然函数 \( Q(\theta|\theta_t) \)，也就是找到使得以下式子最大的 \( \theta \)： \[ \theta_{t+1} = \arg\max_\theta \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^K Q(z_i=k|y_i, \theta_t) \log P(y_i, z_i|\theta) \] 这两个步骤交替进行，直到参数估计的改变量足够小或者达到预设的最大迭代次数为止。 EM算法的优点在于它能够处理不完整的数据，并且在许多情况下能收敛到局部最优解。然而，它也存在一些不足，比如可能陷入局部最优，收敛速度较慢，且对于初始参数敏感。为了解决这些问题，研究者们提出了一些改进的版本，如GEM（Generalized EM）算法，增加了更多的灵活性和适应性。 在实际应用中，EM算法常被用于聚类（如K-means的变体）、概率图模型的学习、隐马尔科夫模型（HMM）的参数估计等。通过对高斯混合模型的参数估计，我们可以更好地理解和建模复杂的多模态数据分布。