马尔科夫链蒙特卡洛方法.pdf

马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）方法是一种在统计学和计算概率领域广泛使用的数值模拟技术，尤其在处理复杂的贝叶斯推断问题时显得尤为重要。MCMC利用马尔科夫链的性质来构造一个随机过程，通过这个过程可以生成样本，这些样本能够代表目标分布。这种方法在高维空间中解决积分问题，特别是在计算后验概率分布时非常有效。 1.1.1 贝叶斯推断中的积分问题 贝叶斯统计是一种基于概率的推断方法，其中我们对未知参数θ的先验分布π(θ)结合观测数据x的似然函数fx|θ(x)来得到后验分布fθ|x(θ|x)。贝叶斯公式表达为： fθ|x(θ|x) = fx|θ(x)π(θ) / fx(x) 在实际应用中，我们通常对后验分布进行操作，如求期望值E[g(θ)|x]，这涉及到对后验分布的积分： E[g(θ)|x] = ∫g(θ)fθ|x(θ|x)dθ / ∫fθ|x(θ|x)dθ 对于高维的θ，这种积分变得极其困难，传统数值方法（如矩法、泰勒级数等）往往不适用。 1.1.2 马尔科夫链与MCMC积分 马尔科夫链是一种具有“无记忆”性质的随机过程，即当前状态只依赖于前一状态，而不依赖于更早的状态。MCMC通过构造一个马尔科夫链，使得链的平稳分布是目标分布π(θ)，这样我们可以通过在链上进行长时间的模拟来获得目标分布的样本。 1.2.1 马尔科夫-哈斯汀斯算法 马尔科夫-哈斯汀斯（Metropolis-Hastings）算法是MCMC的核心，它允许我们构造非对称转移概率，以生成从一个状态到另一个状态的采样序列。该算法包括以下步骤： 1. 提出一个新的状态θ'。 2. 计算接受率α = min(1, fθ'|x(θ')/fθ|x(θ))。 3. 以概率α接受新状态，否则保持原状态。 1.2.2 其他MCMC采样器 - Metropolis采样器：是马尔科夫-哈斯汀斯算法的特殊情况，当转移概率是对称时，即Q(θ'|θ) = Q(θ|θ')。 - 随机游走Metropolis：通过在当前状态周围添加一些随机扰动来提出新状态。 - 独立采样器：直接从目标分布π(θ)中独立地提出新状态，如果被接受，则跳过当前状态。 1.3 单分量马尔科夫-哈斯汀斯算法 对于多参数情况，单分量算法一次仅更新一个参数，其他参数保持不变，这有助于提高算法的效率。 1.4 应用：逻辑回归 MCMC在各种统计模型中都有应用，例如在逻辑回归中，可以用来估计参数的后验分布，从而获取参数的不确定性信息。 马尔科夫链蒙特卡洛方法提供了一种强大的工具，用于解决在贝叶斯统计中遇到的复杂积分问题，特别是当目标分布是多维且难以解析时。通过精心设计的马尔科夫链，我们可以有效地探索后验分布，并从中获取有关模型参数的宝贵信息。尽管MCMC方法可能需要较长的计算时间，但其灵活性和准确性使其在现代统计分析中不可或缺。