【椭圆及其标准方程】
椭圆是平面几何中的一个重要概念，它是由所有与两个固定点（称为焦点）的距离之和为常数的点组成的集合。这个常数就是椭圆的半长轴与半短轴长度之和。椭圆的标准方程通常有两种形式：
1. **标准方程一**：
当椭圆的中心位于坐标原点时，如果椭圆的长轴平行于x轴，其标准方程为：
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
其中\(a\)是半长轴，\(b\)是半短轴，\(c\)是焦距的一半，满足\(c^2 = a^2 - b^2\)。
2. **标准方程二**：
如果椭圆的长轴平行于y轴，标准方程为：
\[
\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1
\]
在提供的练习题中，涉及了多种椭圆问题，包括选择题、填空题和解答题。让我们逐一解析这些题目：
1. 题目询问点P到一个焦点的距离为3，根据椭圆定义，P到另一焦点的距离应为\(2a - 3\)，因此答案是\(5\)（因为\(2a\)是椭圆上的点到两焦点距离之和）。
2. 题目给出了长轴长为4，短轴长为2，椭圆方程为\(\frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1\)，即选项D。
3. 由于椭圆有相同的焦点，可先求得焦点距离\(c\)，然后结合短轴长为4来求解椭圆方程，答案可能为\(9x^2 + y^2 = 36\)（即选项A）。
4. 根据椭圆定义，\(a^2 - c^2 = b^2\)，题目给出了焦点坐标，可以计算\(c\)，进而得到\(a\)和\(b\)，从而确定椭圆方程。
5. 若椭圆短轴上的两个顶点与一个焦点连线互相垂直，这意味着短轴与x轴垂直，所以\(b = a\)，离心率\(e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，答案是\(B\)。
6. 椭圆面积最大值为12时，利用\(S_{\triangle F_1PF_2} = ab\)，可以求得\(ab\)的值，进而解出椭圆方程。
7. 由等差中项的性质，|PF1| + |PF2| = 2|F1F2|，结合椭圆定义可得椭圆方程。
8. 椭圆的两个焦点和中心将两准线间的距离四等分，意味着\(a^2 = 2c^2\)，由此可以推导出焦点与短轴端点连线的夹角。
9. 根据椭圆的定义，点M到两个焦点的距离之和为定值，可以求出|ON|。
10. △ABC的顶点B、C在椭圆上，A是焦点，另一焦点在BC边上，利用椭圆定义可以求出△ABC的周长。
11. 方程表示焦点在x轴的椭圆，实数m的取值范围由\(b^2 < a^2\)确定。
12. 过点P的椭圆标准方程可以通过焦点和点P的位置关系求解。
13. 由三角形的周长和椭圆定义，可以求出顶点的轨迹方程。
14. 椭圆的垂线通过焦点，长轴端点与短轴端点的连线平行于x轴，这表明椭圆的离心率等于\(\frac{1}{2}\)。
15. 已知离心率和短轴长，可以建立关于\(a\)和\(b\)的方程组，求出椭圆方程。
16. 点P在圆上运动，与定点Q保持一定比例，利用圆的参数方程和定义法求出动点P的轨迹方程。
17. 根据椭圆的焦半径公式和中点坐标公式，可以建立等式求解椭圆方程。
18. 第一个条件给出了离心率和长轴长，第二个条件给出了焦点三角形的周长，通过这两个条件分别求解椭圆方程。
19. (1) 求的最大值时，利用椭圆上的点到焦点距离最小时，该点为短轴端点；(2) 若面积为定值，利用三角形面积公式和椭圆定义求解。
以上是对题目中涉及的椭圆及其标准方程知识点的详细解析。通过这些题目，学生可以巩固椭圆的基本性质、标准方程的使用，以及椭圆几何特性的理解。
