Sommerfeld A - Mathematische theorie der diffraction

### Sommerfeld A - 数学衍射理论 #### 概述 该文主要介绍了数学衍射理论，这是一种由菲涅耳(Fresnel)创立并由基尔霍夫(Kirchhoff)进行精确分析处理的方法。文章指出传统的衍射理论在数学严谨性上存在不足，并尝试提出一种基于电磁理论下的微分方程和边界条件来实现更为严谨的衍射理论处理方式。作者还特别提到了赫兹(Hertz)的波动和声波的情况，在这些情况下，由于波长较大，传统理论不再适用。 #### 关键知识点解析 ##### 1. 衍射理论的历史背景与问题 - **菲涅耳和基尔霍夫的贡献**：菲涅耳首先提出了衍射理论的基本框架，而基尔霍夫则在此基础上进行了更精确的数学描述。 - **局限性**：传统衍射理论因其数学处理上的不严谨而在某些特定条件下无法提供准确的结果。例如，在波长远小于衍射结构尺寸的情况下（如光学中的情况），理论预测与实际观察结果之间存在良好的一致性，但在其他情况下（如赫兹的波动或声波的情况下，其波长显著更大时），传统理论则无法提供有用的解释。 ##### 2. 数学严格性的提升 - **微分方程和边界条件**：文章主张使用电磁理论下的微分方程和边界条件来进行衍射问题的研究。这种方法更加严谨，能够克服传统理论中的不足。 - **适用范围**：这种方法不仅适用于光学领域，也适用于处理赫兹的波动和声波等具有较大波长的现象，从而扩展了理论的应用范围。 ##### 3. 物理量及其数学表示 - **光矢量的电场成分**：文章中用 \( X \), \( Y \), \( Z \) 来表示光矢量的三个电场成分。 - **微分方程组**：文章给出了一组微分方程来描述这些电场成分的变化，包括： - \(\frac{\partial^2 X}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 X}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 X}{\partial z^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 X}{\partial t^2}\) - 类似地，\(Y\) 和 \(Z\) 也有类似的方程。 - **不可压缩性条件**：文章还提到了不可压缩性条件，即 \(\frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} + \frac{\partial Z}{\partial z} = 0\)，这是流体动力学中的一个基本概念，这里用来描述光矢量的变化特性。 ##### 4. 稳定周期性状态 - **假设**：文中假设系统处于稳定周期性状态且光为单一频率。 - **频率表示**：文中使用 \( e^{2i\pi vt} \) 的形式来表示周期性的变化，其中 \( v \) 是光的频率。 #### 结论 通过上述分析可以看出，《数学衍射理论》这篇文章致力于解决传统衍射理论中存在的问题，并提出了一种更为严格的数学处理方法。这种方法不仅能够提高理论的准确性，而且可以应用于更广泛的物理现象中，如赫兹的波动和声波等。通过对微分方程和边界条件的严格应用，该方法有望为衍射现象提供更深入的理解。