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第十二章 回归分析
前面我们讲过曲线拟合问题。曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的
一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间的一个函数，使这个函数对那组数
据拟合得最好。通常，函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要
作的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。从计算的角度看，问题似乎已
经完全解决了，还有进一步研究的必要吗?
从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，我们根据一个样本计算出的那些
系数，只是它们的一个（点）估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间
太大，甚至包含了零点，那么系数的估计值是没有多大意义的。另外也可以用方差分析
方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。简单地说，回归分析就是对拟合
问题作的统计分析。
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：
（i）建立因变量
y 与自变量
m
xxx ,,,
21
L 之间的回归模型（经验公式）；
（ii）对回归模型的可信度进行检验；
（iii）判断每个自变量
),,2,1( mix
i
L= 对
y
的影响是否显著；
（iv）诊断回归模型是否适合这组数据；
（v）利用回归模型对
y 进行预报或控制。
§1 数据表的基础知识
1.1 样本空间
在本章中，我们所涉及的均是样本点×变量类型的数据表。如果有
m 个变量
m
xxx ,,,
21
L ，对它们分别进行了 n 次采样（或观测），得到 n 个样本点
),,,(
21 imii
xxx L ，
ni ,,2,1 L=
则所构成的数据表
X
可以写成一个 mn
×
维的矩阵。
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
×
T
n
T
mnij
e
e
xX M
1
)(
式中
mT
imiii
Rxxxe ∈= ),,,(
21
L
， ni ,,2,1 L
=
，
i
e 被称为第
i
个样本点。
样本的均值为
),,,(
21 m
xxxx L= ，
∑
=
=
n
i
ijj
x
n
x
1
1
， mj ,,2,1 L
=
样本协方差矩阵及样本相关系数矩阵分别为
T
k
n
k
kmmij
xexe
n
sS )()(
1
1
)(
1
−−
−
==
∑
=
×
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
×
jjii
ij
mmij
ss
s
rR )(
其中
