来自多尺度分析的Riesz基 (2006年)

多尺度分析（Multiresolution Analysis，MRA）是小波分析中的一个核心概念，它提供了一种构造小波函数的方法。MRA由一系列线性子空间{Vj}j∈Z和一个尺度函数φ(x)构成，满足以下条件： 1. 函数空间的嵌套关系：Vj-1是Vj的子空间，即Vj-1⊆Vj。 2. 平移不变性和伸缩关系：函数空间由尺度函数生成，整个L2(R)空间可以由这些尺度函数的平移和伸缩来逼近。 3. 伸缩平移的完备性：函数空间的并集为L2(R)，这意味着任何L2(R)中的函数都可以被某一个Vj空间中的函数所逼近。 4. Riesz基的存在性：在每个子空间Vj中存在一组Riesz基，这组基可以由尺度函数的整数平移构成。 5. 尺度函数的两尺度关系：尺度函数满足一个特定的迭代方程，通常称为两尺度方程，通过这个关系可以确定尺度函数的系数。 小波基（Wavelet basis）是一组可以用于分析的函数集合，它们是通过平移和伸缩特定的母函数（称为小波母函数或母小波）来构造的。小波基与尺度函数之间有直接关系，通过尺度函数可以得到小波函数的表达式。 Riesz基是函数空间中的一种特殊基，它满足Riesz性质，即对于任意的函数f属于该函数空间，其在Riesz基上的系数满足一个不等式。这种基并不是正交的，但却是完备的。在小波分析中，Riesz基在某些情况下比正交基更有用，特别是对于一些非正交的小波变换。 分解与重构算法是信号处理中的重要概念。在小波变换中，分解算法用于将信号分解成一系列的小波系数，而重构算法则用于从这些小波系数中重建原始信号。在多尺度分析中，通过迭代地应用分解算法，可以得到信号在不同尺度上的表示。重构算法则利用小波系数通过逆向操作来恢复原始信号。 文章提到的Riesz小波基的具体形式以及小波基母函数φ(x)与尺度函数ψ(x)之间的关系，是在不使用正交化方法的前提下得到的。这可能意味着使用了一种迭代或逼近的方法来确定Riesz基和小波基母函数的表达式。此外，所建立的分解与重构算法是基于这种Riesz基的，这样的算法允许在没有正交化条件下对信号进行有效的分解和重构。 总结来说，这篇论文提供了一个不依赖于正交化方法的Riesz基和小波基的构造方法，以及基于这种构造的分解与重构算法。这种方法可能在某些应用中具有计算效率或理论上的优势，尤其是在尺度函数具有紧支集的情况下，它避免了正交化后尺度函数和小波基母函数失去紧支集的缺点，这对于计算的稳定性和效率是十分重要的。通过不使用正交化方法，也避免了计算标准正交小波基所需的复杂过程，从而简化了算法的实现。这些方法和算法对于信号处理、图像压缩以及其他需要多尺度分析的领域具有重要意义。