几个非线性算子不动点的存在性定理及其应用 (2009年)

在研究非线性算子不动点的存在性问题中，引入的相对σ-完备集是一个重要概念，它与线性空间半序理论密切相关。相对σ-完备集中的元素可以理解为一个具有特定性质的集合，其中每个单调递增且范数有界的序列都有一个最小上界，而每个单调递减且范数有界的序列则都有一个最大下界。这一概念使得对非线性算子进行研究时，即便算子本身不具有紧性、连续性和凹凸性，也能够确保不动点存在的研究具备可操作性和一定的普遍性。 关于单调算子，它是非线性泛函分析中的一个重要研究对象，尤其是研究其不动点问题。单调算子可以分为三种类型：增算子、减算子和混合单调算子。增算子在定义域内单调递增，减算子单调递减，而混合单调算子则在一个定义域的变量上递增，在另一个变量上递减。对于这些算子，不动点存在性问题的研究在理论和应用上都具有重要意义。 在上述文章中，研究者提出了关于增算子不动点存在性的一系列新结果，并将其应用于Hammerstein非线性积分方程。通过构造特殊的迭代序列并利用相对σ-完备集的性质，研究者证明了在一定条件下，增算子在实Banach空间中存在不动点。定理2.1和定理2.2通过迭代序列的构造和一些特定条件的验证，分别给出了存在正不动点的充分条件。 具体到定理2.1，其关键在于对于任意的t大于1和大于零的x，函数φ和ψ的存在性能够保证迭代序列具有收敛性，从而使得算子A在实Banach空间中拥有不动点。迭代序列un = Aun-1的构造是基于算子A的递增性，而收敛性的证明则依赖于E空间中完全相对σ-完备集的性质。这为后续研究非线性算子的不动点提供了理论基础。 定理2.2则进一步放宽了条件，使得我们能够在相对σ-完备集的背景下，对具有有界象的增算子进行研究。通过类似的迭代方法和性质验证，最终得到在一定条件下，算子A具有正不动点。 这些结果的应用并不局限于理论分析，而是可以拓展到各类具有非线性特征的数学物理问题中。例如，Hammerstein非线性积分方程的求解就是一个重要的实际应用场景。通过不动点的存在性定理，研究者能够得到积分方程解的存在性，这对于进一步研究其唯一性和稳定性等性质具有重要意义。 总而言之，文章中的非线性算子不动点存在性定理及其应用为我们提供了一种在较为宽泛条件下，研究非线性算子不动点问题的方法。这些理论成果不仅丰富了非线性泛函分析的研究内容，也为解决工程、物理以及其他科学领域的相关问题提供了有力的工具。