FC-空间中的非空交定理及其应用 (2009年)

本文讨论的是在有限连续拓扑空间（简称FC-空间）中非空交定理及其应用的研究。需要明确几个关键概念： 1. FC-空间：FC-空间是一个没有凸性结构的拓扑空间，但在某些条件下，仍能保证得到非空交定理和择一性定理。FC-空间的研究可追溯到Horvath提出的H-空间的概念，并由Park和Kim引入了广义凸（G-凸）空间，以及后续Vema引入的G-H-凸空间，和Ben-El-Mechaiekh提出的L-凸空间。FC-空间这一概念由Ding引入，它包括了H-空间、G-凸空间和L-凸空间等许多具有抽象凸性结构的拓扑空间作为特例。 2. KK映射：KKM映射（Ky Fan-KKM定理）是一个在非线性分析领域中的重要概念。Ky Fan基于Kakutani不动点定理提出KKM原理，并应用到了博弈论中的Nash均衡的存在性证明。 3. 非空交定理和择一性定理：这两类定理是研究集合间交集非空性质的定理，通常在拓扑空间或者度量空间中进行讨论。它们在数学的多个分支，如微分方程、优化理论、博弈论中有着广泛的应用。 4. 极大极小不等式定理：极大极小不等式是一个涉及到集合最大值和最小值的不等式。在FC-空间的研究框架中，通过将极大极小不等式定理应用于KKM映射等概念，可以推导出集合的某些特性。 文章的主要内容围绕着以下几个方面： 1. FC-空间的定义及其性质：FC-空间不假设任何凸性结构，但它保留了某些拓扑空间的基本性质。在FC-空间内，研究者定义了一系列相关的概念，如FC-子空间，和与之相关的闭包和内部等拓扑性质。 2. 非空交定理：在没有凸性假设的条件下，研究者得到了若干FC-空间中的非空交定理。这些定理推广了文献中已有的相关结果。 3. 择一性定理：在研究KKM映射的过程中，得到了若干择一性定理。这些定理通过各种方式定义了映射和集合作为KKM映射的性质。 4. 极大极小不等式的应用：利用研究结果，文章得到了极大极小不等式定理，它是非空交定理和择一性定理的直接应用，体现了这些定理在理论研究中的实用价值。 总结来说，FC-空间的研究为我们提供了一种新的视角来探讨在不满足传统凸性结构假设下的拓扑空间中的某些特殊性质。通过非空交定理和择一性定理的获取，及极大极小不等式定理的应用，这类研究不仅丰富了数学理论，也为实际应用提供了新的方法和思路。