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第 26 卷第 10 期

Vol. 26 No. 10

控制与决策

Control and Decision

2011 年 10 月

Oct. 2011

具有多个通信时延的一类二阶多智能体系统平均一致性

文章编号: 1001-0920 (2011) 10-1485-08

张庆杰, 沈林成, 朱华勇

(国防科学技术大学机电工程与自动化学院, 长沙 410073)

摘要: 讨论具有多个通信时延的二阶多智能体系统平均一致性问题. 采用构造 Lyapunov-Krasovskii 函数的方法来

分析系统的时延依赖稳定判据, 并通过求解线性不等式来获取最大时延上界. 为了最大限度地降低判据的保守性, 在

主要结论中引入了自由权矩阵思想. 数值实例和仿真结果表明了所提出方法的有效性.

关键词: 平均一致性；Lyapunov-Krasovskii 泛函；线性矩阵不等式；自由权矩阵

中图分类号: TP18 文献标识码: A

Average consensus of a class of second order multi-agent systems with

multiple communication delays

ZHANG Qing-jie, SHEN Lin-cheng, ZHU Hua-yong

(College of Mechatronic Engineering and Automation，National University of Defense Technology，Changsha

410073，China．Correspondent：ZHANG Qing-jie，E-mail：nudtzhang@hotmail.com)

Abstract: This paper discusses the average consensus problem of multi-agent systems with multiple communication delays.

The stability criteria of the network dynamic is analyzed by constructing Lyapunov-Krasovskii function, and the tolerant

upper bounds of communication delays can be obtained through solving feasible linear matrix inequalities(LMIs). In order

to relax the conservativeness, free-weighting matrices method is employed in the main results. Numerical examples and

simulations results show the effectiveness of the proposed method.

Key words: average consensus；Lyapunov-Krasovskii functional；linear matrix inequality；free-weighting matrices

1 引引引言言言

近年来, 多智能体一致性理论已逐渐成为多机

器人协调领域中的研究热点之一, 其基本任务是基于

多个智能体可能相冲突的输入信息, 采用一致性协

议协调多智能体系统产生一致的公共输出, 并且在

理论上证明了达到一致所需协调次数的上界和下界

相同. 由于一致性理论具有无中心控制、局部信息交

换的特点, 多智能体系统可通过简单的行为协调涌

现出整体的自治行为, 受到学术界的极大关注. 目前,

一致性理论已在多机器人系统编队控制

[1]

、蜂拥

[2]

和

聚集

[3]

、信息融合

[4]

、协同决策

[5]

以及耦合振荡器同

步

[6]

等多个领域得到了广泛应用. 但在很多应用中,

由于智能体移动、通信拥塞或传输距离受限等因素

的存在, 研究一致性问题时不得不考虑时延对系统

收敛性能的影响. 目前已有大量文献研究具有通信

时延的多智能体系统取得一致性的条件

[7-12]

, 大体分

为频域和时域两种分析方法. 在频率分析方法中, 文

献 [7] 讨论了含有对称、常数时延情况下无向多智能

体网络的平均一致性问题, 并利用 Ger˘sgorin 圆盘定

理给出系统实现一致的充要条件. 进一步, [8] 将这

一结果作了推广, 研究了对称时变时延和非对称时

变时延情况下多智能体一致收敛的稳定判据. 尽管

上述频域方法能够给出系统实现一致所允许通信时

延上界的解析表达, 但通常仅适用于固定拓扑结构,

这是因为分析切换拓扑结构需要寻找公共的/多个

Lyapunov 函数, 而事实上这是十分困难的

[13]

. 在时域

分析中, [9] 基于压缩理论和波形变量设计方法构造

了 Lyapunov-Krasovskii 函数, 并基于此给出了对称加

权无向连通网络的稳定判据. 由于 Matlab 等数学工具

在判断 Lyapunov-Krasovskii 函数时具有存在性方面

的优势, [10-11] 采用 LMI 方法分别讨论了无向和有

向多智能体网络所允许的最大通信时延上界. 由于这

类方法给出的稳定判据都是充分条件, 在判据的保守

收稿日期: 2010-06-04；修回日期: 2010-08-07.

基金项目: 国防基础研究项目(A2820080247)；国家安全基础研究项目(6138101001).

作者简介: 张庆杰(1981−), 男, 博士生, 从事多智能体一致性理论与应用的研究；沈林成(1965−), 男, 教授, 博士生导

师, 从事飞行器导航与规划、智能控制等研究.

1486

控制与决策

第 26 卷

性方面存在进一步改善的可能. [12] 对二阶多智能体

系统存在单个对称时延情况下的平均一致性进行了

讨论. 此外, 还有一些文献探讨了含有时延情况下一

致性的相关问题, 如输入时延

[13]

、离散系统

[14]

以及联

合连通拓扑

[15]

等.

本文采用 LMI 方法研究无相对速度信息的二阶

多智能体系统平均一致性问题, 对文献 [12] 中未开展

研究的多个通信时延问题展开进一步的讨论, 并尝试

使用新的 Lyapunov-Krasovskii 函数构造方法以降低

时延依赖稳定判据的保守性问题. 为了获得相对较低

的保守性, 引入自由权矩阵思想

[16]

以保证更大范围的

时延界限.

为了研究方便, 文中的符号*表示对称矩阵中的

对称部分, 𝒟 > 0 表示矩阵 𝒟 是正定的, 1 表示向量

[1, 1, ..., 1]

, 符号 ⊗ 表示 Kronecker 乘积. 此外, 文中

所讨论的时变时延 𝜏 (𝑡) 均简写为 𝜏 .

2 数数数学学学描描描述述述

2.1 图图图论论论基基基础础础

通常, 多智能体间的交互关系可以由一个加权的

有向图 𝐺 = (𝛾, 𝜀, 𝒜) 来描述. 其中: 𝛾 = {𝜐

, 𝜐

, ⋅ ⋅ ⋅ ,

𝜐

𝑛

} 为图的节点集, 且节点序号属于有限集合 ℐ =

{1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑛}; 𝜀 ⊂ 𝛾 × 𝛾 为图的边集, (𝜐

𝑖

, 𝜐

𝑗

) 为图的

边; 𝒜 = [𝑎

𝑖𝑗

] 为邻接矩阵, 其非负元素 𝑎

𝑖𝑗

的取值与

图中的边相对应, 例如 (𝜐

𝑖

, 𝜐

𝑗

) ∈ 𝜀 ⇐⇒ 𝑎

𝑖𝑗

> 0. 假

设 ∀𝑖 ∈ ℐ, 𝑎

𝑖𝑖

= 0, 若对于任意 𝑖, 𝑗 ∈ ℐ, 且 𝑖 ∕= 𝑗,

有 𝑎

𝑖𝑗

= 𝑎

𝑗𝑖

成立, 则有向图转变为无向图. 此时, 无向

图也可以看作是有向图的一种特例.

若节点 𝜐

𝑖

的紧邻节点的集合定义为

𝒩

𝑖

= {𝜐

𝑗

∈ 𝛾 : (𝜐

𝑖

, 𝜐

𝑗

) ∈ 𝜀}, (1)

令 𝑥

𝑖

∈ 𝑹 为节点 𝜐

𝑖

的状态值 (如位置或状态等信息),

则 𝐺

𝑥

= (𝐺, 𝒙) 指状态值为 𝒙 = [𝑥

, 𝑥

, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑥

𝑛

]

, 拓

扑结构为 𝐺 的多智能体系统.

2.2 平平平均均均一一一致致致性性性与与与一一一致致致性性性协协协议议议

本文将讨论连续时间域下具有时延的二阶智能

体系统平均一致性问题. 假定智能体 𝑖 的动态描述为

˙𝑥

𝑖

= 𝜁

𝑖

𝜁

𝑖

= 𝑢

𝑖

. (2)

采用无相对速度信息的输入或协议为

𝑢

𝑖

(𝑡) =

− 𝑘

𝜁

𝑖

∑

𝜐

𝑗

∈𝒩

𝑖

𝑎

𝑖𝑗

[𝑥

𝑗

(𝑡 − 𝜏

𝑖𝑗

) − 𝑥

𝑖

(𝑡 − 𝜏

𝑖𝑗

)], (3)

其中 𝜏

𝑖𝑗

为智能体 𝑗 和智能体 𝑖 间的通信延时. 一致性

协议 (3) 能够渐近求解二阶智能体 (2) 系统的平均一

致性问题当且仅当智能体状态满足

lim

𝑡→∞

∥𝑥

𝑖

(𝑡) − 𝑥

𝑗

(𝑡)∥ = 0,

lim

𝑡→∞

∥𝜁

𝑖

(𝑡) − 𝜁

𝑗

(𝑡)∥ = 0, 𝑖, 𝑗 ∈ ℐ, (4)

lim

𝑡→∞

𝑥

𝑖

(𝑡) =

𝑛

∑

𝑖=1

(

𝑥

𝑖

(0) +

𝜁

𝑗

(0)

𝑘

)

lim

𝑡→∞

𝜁

𝑖

(𝑡) = 0, 𝑖 ∈ ℐ. (5)

令

𝜁

𝑖

= 2𝜁

𝑖

/𝑘

+ 𝑥

𝑖

, 取

𝒙 = [𝑥

𝜁

, 𝑥

𝜁

, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑥

𝑛

𝜁

𝑛

], 则二阶多智能体系统的动态描述可表示为如下矩

阵形式

[15]

𝒙 = (𝐼

𝑛

⊗ Γ )

𝒙 −

𝑚

∑

𝑘=1

(𝐿

𝑘

⊗ 𝑈)

𝒙(𝑡 − 𝜏

𝑘

). (6)

其中

Γ =

[

−𝑘

/2 𝑘

𝑘

/2 −𝑘

]

; 𝑈 =

[

0 0

2/𝑘

]

;

非对称多时延为 𝜏

𝑘

∈ 𝜏

𝑖𝑗

, 𝑖, 𝑗 ∈ ℐ. 此外, 𝐿

𝑘

= [𝑙

𝑘𝑖𝑗

] 与

邻接矩阵的关系为: 当 𝑖 ∕= 𝑗, 𝜏

𝑘

= 𝜏

𝑖𝑗

时, 𝑙

𝑘𝑖𝑗

= −𝑎

𝑖𝑗

;

当 𝑖 ∕= 𝑗, 𝜏

𝑘

∕= 𝜏

𝑖𝑗

时, 𝑙

𝑘𝑖𝑗

= 0; 当 𝑖 = 𝑗 时, 𝑙

𝑘𝑖𝑗

𝑛

∑

𝑗=1

𝑙

𝑘𝑖𝑗

对于切换拓扑情况, 多智能体系统的动态描述为

𝒙 = (𝐼

𝑛

⊗ Γ )

𝒙 −

𝑚

∑

𝑘=1

(𝐿

𝑘𝑠

⊗ 𝑈)

𝒙(𝑡 − 𝜏

𝑘

𝑠 = 𝜎(𝑡). (7)

其中:

𝑚

∑

𝑘

𝐿

𝑘𝑠

= 𝐿

𝑠

属于一组有向图的 Laplacian 矩

阵, 𝜎(𝑡) 为决定拓扑结构的切换信号.

定义 1

[7]

(强连通) 若图中每个节点与其他任意

节点间存在一个有向路径, 则该图是强连通的.

定义 2

[7]

(平衡图) 有向图 𝐺 = (𝛾, 𝜀, 𝒜) 中的节

点 𝜐

𝑖

是平衡的, 当且仅当其入度和出度相等, 例如

deg

out

(𝜐

𝑖

) = deg

(𝜐

𝑖

). 若图 𝐺 = (𝛾, 𝜀, 𝒜) 是平衡的,

当且仅当其所有节点是平衡的, 或者满足

∑

𝑗

𝑎

𝑖𝑗

∑

𝑗

𝑎

𝑗𝑖

, ∀𝑖 ∈ ℐ.

定义 3

[11]

(平衡矩阵) 若方阵 𝐹 ∈ 𝑹

𝑛×𝑛

为平衡

矩阵, 当且仅当 1

𝑛

𝐹 = 0 和 𝐹 1

𝑛

= 0 成立.

引理 1

[7]

若多智能体系统的图 𝐺 是强连通的,

则其 Laplacian 矩阵 𝐿 满足: 1) 矩阵 𝐿 的秩为 𝑛 − 1;

2) 零为矩阵 𝐿 的一个特征值, 其相应的特征向量为

𝑛

; 3) 其余 𝑛 − 1 个特征值具有正实部, 特别地, 若 𝐺

为无向图, 则其特征值均为正实数.

引理 2

[11]

对于完全图的 Laplacian 矩阵

𝐿 =

⎡

⎢

⎣

𝑛 − 1 −1 ⋅ ⋅ ⋅ −1

−1 𝑛 − 1 ⋅ ⋅ ⋅ −1

−1 −1 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑛 − 1

⎤

⎥

⎦

若 𝐸

𝑐

为 𝐿 的特征向量所组成的矩阵, 则它为一个正

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