Systèmes dynamiques
Jean-Louis Pac
Cours et exercices corrigés
Systèmes dynamiques
2
e
édition
Illustration de couverture : © Fernando Cortés – Fotolia.com
© Dunod, Paris, 2012, 2016
5 rue Laromiguière, 75005 Paris
www.dunod.com
ISBN 978-2-10-074261-5
TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos VII
Chapitre 1. Généralités sur les systèmes différentiels 1
1.1 Introduction
1
1.2 Théorème de Cauchy -Lipschitz 7
1.3 Symétries orbitales 14
Chapitre 2. Flot et conjugaison en temps continu 17
2.1 Flot d’un système dynamique
17
2.2 Conjugaison des systèmes dynamiques 21
2.3 Quelques propriétés générales du flot 30
Chapitre 3. Équilibres 33
3.1 Introduction
33
3.2 Stabilité des équilibres : exemple et définitions 33
3.3 Autres notions 40
Chapitre 4. Stabilité des systèmes linéaires 43
4.1 Réduction des endomorphismes
43
4.2 Flot et stabilité des systèmes linéaires 44
4.3 Stabilité structurelle et conjugaison 52
4.4 Trajectoires génératrices d’un système linaire 56
Chapitre 5. Propriétés élémentaires en dimensions 1 et 2 65
5.1 Propriétés de base des systèmes de dimension 1
65
5.2 Portraits de phases d’un système linéaire de dimension 2 66
5.3 Courbure d’une trajectoire plane 69
5.4 Critère de Bendixson 71
5.5 Évolution d’un portrait de phases 73
Chapitre 6. Propriétés locales du ot 79
6.1 Introduction
79
6.2 Généralités et exemples 79
6.3 Théorie de Liapounov de la stabilité 83
6.4 Linéarisation autour des équilibres 88
6.5 Linéarisation autour des équilibres hyperboliques 90
Chapitre 7. Structuration du ot 97
7.1 Ensembles-limites
98
7.2 Orbites périodiques 104
7.3 Variétés remarquables 107
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