抽样技术第五版习题详解与答案

《抽样技术第五版习题详解与答案》是一份详尽的习题解答资源，针对《抽样技术》第五版教材中的所有习题进行了全面解析和答案提供。该资源旨在帮助我们深入理解抽样技术的核心概念、方法和应用，通过详细的解题步骤和答案解析，巩固理论知识，提升解题能力。 ### 抽样技术核心知识点详解 #### 一、抽样技术概述 抽样技术是一种统计学方法，主要用于从总体中选取部分样本进行分析，并据此推断总体特征。它广泛应用于市场调研、社会科学研究、质量控制等多个领域。有效的抽样不仅能够节省时间和成本，还能提高数据的准确性和可靠性。 #### 二、等概率抽样与非等概率抽样 **等概率抽样（Simple Random Sampling, SRS）**是指在每次抽取样本时，每个单位被抽中的概率相同。例如： 1. **例题解析**：“抽样技术第五版习题详解与答案”中提到的第一种情况，即编号为1～64的单元中每个单元被抽中的概率均为1/100，这是一种典型的等概率抽样。 2. **例题解析**：第三种情况中，编号为20,000～21,000的单元中每个单元的入样概率均为1/1,000，同样属于等概率抽样。 **非等概率抽样**是指在每次抽取样本时，不同单位被抽中的概率不同。例如： 1. **例题解析**：第二种情况中，编号为1～35以及64的单元每个单元的入样概率为2/100，而编号为36～63的每个单元的入样概率为1/100，这种情况下不同单元的入样概率不同，因此是非等概率抽样。 #### 三、样本均值的定义与性质 **定义**：样本均值是指从总体中抽取的样本的平均值，通常表示为\[ \bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i \]，其中\( n \)为样本容量，\( y_i \)为第\( i \)个样本单元的观测值。 **相同之处**： - 抽样理论与数理统计中的样本均值的期望都等于总体均值，即两者都是无偏估计。 - 不论总体分布如何，在样本量足够大的情况下，样本均值近似服从正态分布。 **不同之处**： - 抽样理论中，样本是从有限总体中按放回的方式抽取，样本中的单位可能会重复；而数理统计中的样本是从无限总体中抽取，样本点不会重复。 - 抽样理论中样本之间的观测值是不独立的；而在数理统计中，样本观测值之间相互独立。 - 抽样理论中样本均值的方差为\(\left( 1 - f \right) \frac{S^2}{n}\)，其中\( f \)为采样率，\( S^2 \)为总体方差；而在数理统计中，样本均值的方差为\(\frac{\sigma^2}{n}\)，其中\( \sigma^2 \)为总体方差。 #### 四、置信区间的计算 **置信区间**用于估计总体参数的可能范围，常用来评估样本估计的精确度。 **例题解析**：在“抽样技术第五版习题详解与答案”中的2.3题中，计算了某市居民日用电量的95%置信区间。已知样本均值\( \bar{y} = 9.5 \)，样本标准差\( s = 206 \)，样本容量\( n = 300 \)，总体容量\( N = 50,000 \)。根据抽样理论中的置信区间公式\[ \left( \bar{y} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{1-f}{n}} s, \bar{y} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{1-f}{n}} s \right) \]，其中\( f = \frac{n}{N} \)为采样率，\( z_{\alpha/2} \)为标准正态分布的双侧分位点，对于95%置信水平\( z_{\alpha/2} = 1.96 \)。代入数值后得到置信区间为\[ \left( 7.8808, 11.1192 \right) \]。 **例题解析**：2.5题中提到利用简单随机抽样估计小区平均文化支出的95%置信区间。已知样本均值\( \bar{y} = 144.5 \)，样本方差\( s^2 = 826.0256 \)，样本容量\( n = 20 \)。利用样本均值的置信区间公式\[ \left( \bar{y} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{1-f}{n}} s, \bar{y} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{1-f}{n}} s \right) \]，代入已知数值后得到置信区间为某一范围。 #### 五、样本量的确定 **例题解析**：2.3题还涉及了计算满足特定精度要求所需的样本量。已知允许的相对误差\( r = 10\% \)，总体方差\( S^2 = 206^2 \)，总体容量\( N = 50,000 \)。根据样本量的计算公式\[ n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot S^2 \cdot N}{z_{\alpha/2}^2 \cdot S^2 + \left( 1 - f \right) \cdot N \cdot r^2} \]，其中\( z_{\alpha/2} = 1.96 \)，代入数值后计算得出样本量至少为862。 #### 六、总结 通过以上解析，《抽样技术第五版习题详解与答案》中的习题不仅涵盖了抽样技术的基本概念，如等概率抽样与非等概率抽样、样本均值及其性质等，还深入探讨了置信区间的计算以及样本量的确定等高级主题。这些知识点对于理解和应用抽样技术至关重要，有助于读者掌握抽样技术的核心思想和实际操作方法。