逐次超松弛迭代法解线性方程组(Matlab程序).docx

逐次超松弛迭代法（Successive Over-Relaxation Iteration Method，SOR）是一种用于求解大型稀疏线性方程组的数值方法，尤其在处理对称正定矩阵时效率较高。它是在高斯-塞德尔迭代法的基础上进行改进的，通过引入松弛因子来加速收敛速度。 在MATLAB中实现逐次超松弛迭代法，首先需要理解其基本步骤： 1. **定义问题**：给定一个线性方程组 Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量。 2. **初始化**：设置迭代次数的最大限制（例如100次），初始化迭代向量x，通常选择全零向量作为初始解。 3. **矩阵分解**：将矩阵A分解为D-L-U的形式，其中D是对角矩阵，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。在本例中，由于只涉及对角线元素和下/上三角元素，可以简化为D-E-F的形式，其中E和F分别表示A的下三角部分和上三角部分。 4. **设置松弛因子**：松弛因子w是一个介于0和2之间的数，它对迭代过程的收敛速度有很大影响。较大的w可能会加快收敛，但过大可能导致不收敛。 5. **构建迭代矩阵B和向量g**：迭代矩阵B和向量g根据以下公式计算： - B = (1-w)D^(-1) + wL^(-1)U - g = wD^(-1)b 6. **迭代过程**：在每次迭代中，计算新解y，然后判断新解与旧解之间的差异是否小于预设的终止条件（如误差阈值eps）。如果满足条件，迭代结束；否则，继续下一次迭代。迭代公式为： - y = B * x + g 7. **更新解x**：用新解y替换旧解x，进入下一轮迭代。 MATLAB代码中，`fprintf`语句用于在命令窗口中显示当前迭代次数，帮助用户了解算法的进度。`break`语句用于在达到终止条件时提前结束循环。 需要注意的是，逐次超松弛迭代法的收敛性依赖于矩阵A的性质和松弛因子w的选择。对于某些问题，可能需要尝试不同的w值以找到最佳的收敛速度。此外，这种方法通常适用于稀疏矩阵，因为稀疏矩阵的分解和乘法运算更高效。在处理密集矩阵时，可能需要考虑其他方法，如直接求解（如LU分解或QR分解）或其他迭代方法（如共轭梯度法）。