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数学基础知识 ------------------ [TOC] 数据科学需要一定的数学基础，但仅仅做应用的话，如果时间不多，不用学太深，了解基本公式即可，遇到问题再查吧。 以下是以前考研考博时候的数学笔记，难度应该在本科3年级左右。 ### 高等数学 **1.导数定义：** 导数和微分的概念 $f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}$ （1） 或者： $f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$ （2） **2.左右导数导数的几何意义和物理意义** 函数$f(x)$在$x_0$处的左、右导数分别定义为： 左导数：${{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)$ 右导数：${{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$ **3.函数的可导性与连续性之间的关系** **Th1:** 函数$f(x)$在$x_0$处可微$\Leftrightarrow f(x)$在$x_0$处可导 **Th2:** 若函数在点$x_0$处可导，则$y=f(x)$在点$x_0$处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。 **Th3:** ${f}'({{x}_{0}})$存在$\Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})$ **4.平面曲线的切线和法线** 切线方程 : $y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$ 法线方程：$y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0$ **5.四则运算法则** 设函数$u=u(x)，v=v(x)$]在点$x$可导则 (1) $(u\pm v{)}'={u}'\pm {v}'$ $d(u\pm v)=du\pm dv$ (2)$(uv{)}'=u{v}'+v{u}'$ $d(uv)=udv+vdu$ (3) $(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0)$ $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}$ **6.基本导数与微分表** (1) $y=c$（常数） ${y}'=0$ $dy=0$ (2) $y={{x}^{\alpha }}$($\alpha $为实数) ${y}'=\alpha {{x}^{\alpha -1}}$ $dy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx$ (3) $y={{a}^{x}}$ ${y}'={{a}^{x}}\ln a$ $dy={{a}^{x}}\ln adx$ 特例: $({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}$ $d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx$ (4) $y={{\log }_{a}}x$ ${y}'=\frac{1}{x\ln a}$ $dy=\frac{1}{x\ln a}dx$ 特例:$y=\ln x$ $(\ln x{)}'=\frac{1}{x}$ $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$ (5) $y=\sin x$ ${y}'=\cos x$ $d(\sin x)=\cos xdx$ (6) $y=\cos x$ ${y}'=-\sin x$ $d(\cos x)=-\sin xdx$ (7) $y=\tan x$ ${y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x$ $d(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx$ (8) $y=\cot x$ ${y}'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x$ $d(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx$ (9) $y=\sec x$ ${y}'=\sec x\tan x$ $d(\sec x)=\sec x\tan xdx$ (10) $y=\csc x$ ${y}'=-\csc x\cot x$ $d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$ (11) $y=\arcsin x$ ${y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$ $d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$ (12) $y=\arccos x$ ${y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$ $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$ (13) $y=\arctan x$ ${y}'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ $d(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$ (14) $y=\operatorname{arc}\cot x$ ${y}'=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ $d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$ (15) $y=shx$ ${y}'=chx$ $d(shx)=chxdx$ (16) $y=chx$ ${y}'=shx$ $d(chx)=shxdx$ **7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法** (1) 反函数的运算法则: 设$y=f(x)$在点$x$的某邻域内单调连续，在点$x$处可导且${f}'(x)\ne 0$，则其反函数在点$x$所对应的$y$处可导，并且有$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ (2) 复合函数的运算法则:若$\mu =\varphi (x)$在点$x$可导,而$y=f(\mu )$在对应点$\mu $($\mu =\varphi (x)$)可导,则复合函数$y=f(\varphi (x))$在点$x$可导,且${y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)$ (3) 隐函数导数$\frac{dy}{dx}$的求法一般有三种方法： 1)方程两边对$x$求导，要记住$y$是$x$的函数，则$y$的函数是$x$的复合函数.例如$\frac{1}{y}$，${{y}^{2}}$，$ln y$，${{{e}}^{y}}$等均是$x$的复合函数. 对$x$求导应按复合函数连锁法则做. 2)公式法.由$F(x,y)=0$知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)}$,其中，${{{F}'}_{x}}(x,y)$， ${{{F}'}_{y}}(x,y)$分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数 3)利用微分形式不变性 **8.常用高阶导数公式** （1）$({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}$ （2）$(\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$ （3）$(\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$ （4）$({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}$ （5）$(\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}$ （6）莱布尼兹公式：若$u(x)\,,v(x)$均$n$阶可导，则 ${{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}$，其中${{u}^{({0})}}=u$，${{v}^{({0})}}=v$ **9.微分中值定理，泰勒公式** **Th1:**(费马定理) 若函数$f(x)$满足条件： (1)函数$f(x)$在${{x}_{0}}$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 $f(x)\le f({{x}_{0}})$或$f(x)\ge f({{x}_{0}})$, (2) $f(x)$在${{x}_{0}}$处可导,则有 ${f}'({{x}_{0}})=0$ **Th2:**(罗尔定理) 设函数$f(x)$满足条件： (1)在闭区间$[a,b]$上连续； (2)在$(a,b)$内可导； (3)$f(a)=f(b)$； 则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使 ${f}'(\xi )=0$ **Th3:** (拉格朗日中值定理) 设函数$f(x)$满足条件： (1)在$[a,b]$上连续； (2)在$(a,b)$内可导； 则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )$ **Th4:** (柯西中值定理) 设函数$f(x)$，$g(x)$满足条件： (1) 在$[a,b]$上连续； (2) 在$(a,b)$内可导且${f}'(x)$，${g}'(x)$均存在，且${g}'(x)\ne 0$ 则在$(a,b)$内存在一个$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}$ **10.洛必达法则** 法则Ⅰ ($\frac{0}{0}$型) 设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件： $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$; $f\left( x \right),g\left( x \right)$在${{x}_{0}}$的邻域内可导，(在${{x}_{0}}$处可除外)且${g}'\left( x \right)\ne 0$; $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$存在(或$\infty $)。 则: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$。 法则${{I}'}$ ($\frac{0}{0}$型)设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件： $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$; 存在一个$X>0$,当$\left| x \right|>X$时,$f\left( x \right),g\left( x \right)$可导,且${g}'\left( x \right)\ne 0$;$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$存在(或$\infty $)。 则: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ 法则Ⅱ($\frac{\infty }{\infty }$型) 设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件： $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty $; $f\left( x \right),g\left( x \right)$在${{x}_{0}}$ 的邻域内可导(在${{x}_{0}}$处可除外)且${g}'\left( x \right)\ne 0$;$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left(