只能考虑k≠±1时，否则不可能有两个根了。
按Viète定理，18/(k^2-1)作为两个整数的积肯定得是整数，3(3k-1)/(k^2-1)作为两个整数的和，同理。这样k^2-1就只能是-1，3。k只能是0，±2。
k=0：积-18，和3，根是6和-3，可以。
k=-2：积6，和-7，根是-1和-6，可以。
k=2：积6，和5，根是2和3，可以。

这不太简单了

考虑k是分数的情况：k=a/b（a,b都是整数且不可约，排除ab=0）
18/(k^2-1)是整数，则18b^2/(a^2-b^2)是整数，令18b^2=c(a^2-b^2)，c为整数。k^2=a^2/b^2=（18c+c^2）/c^2.这样c(c+18)必须是平方数。c(c+18)+81是平方数，所以需要寻找相差81的平方数，平方差公式下来的可能性有1*81，3*27和9*9,则c(c+18)=40^2,12^2或0（舍），c=-50，32或6，-24.
c=32的情况，k=-1.25或1.25，得不到两个整数根。
c=-50的情况，k=-0.8或0.8，得不到两个整数根。
c=6的情况，a/b=±2，和不可约矛盾。
c=-24的情况，k=-0.5或0.5，都有整数根，分别是4，-6和-2，12。

这个在初中里面确实算简单的题目

常规做法

谢谢谢谢