2007年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷
(总分16, 做题时间90分钟)
1. 计算题
1.
给定方程sinx+x
2
—3x=0．
1)分析该方程存在几个实根；
2)用适当的迭代法求出这些根，精确到3位有效数字．2.用列主元Gauss消去法解线性方程组
2. 综合题
1.给定线性方程组其中a，b，c，d，e，f为常数，且ad≠bc．1)分别写出Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式．2)下面情况哪个会发生? (i)Jacobi迭代格式收敛，且Gauss-Seidel迭代格式收敛； (ii)Jacobi迭代格式收敛，但Gauss-Seidel迭代格式发散； (iii)Jacobi迭代格式发散，但Gauss-Seidel迭代格式收敛； (iv)Jacobi迭代格式发散，且Gauss-Seidel迭代格式发散．
2.
设x
i
(0≤j≤n)是(n+1)个不同的点，a
j
(O≤j≤n)是已知常数．作一个(2n+1)次多项式p(x)，使得p(x
j
)=0，p"(x
j
)=a
j
，0≤j≤n．3.
设f(x)∈C
4
[a，b]，考虑积分I(f)=∫
a
b
f(x)dx
1)写出计算积分I(f)的复化Simpson公式S
n
(f)．该公式是几阶求积公式?其代数精度是多少?
2)已知
(A)是一个Gauss求积公式，证明：
(B)也是一个Gauss求积公式．4.
考虑常微分方程初值问题
取正整数n，记h=(b—a)／n，x
i
=a+ih，0≤i≤n．证明：
至少是一个3阶公式．5.
设f(x)=3x—x
2
，x∈[0，2]．
1)试求f(x)的一次最佳平方逼近多项式；
2)试求f(x)的一次最佳一致逼近多项式．6.
设初边值问题
(C)
存在充分光滑的解，其中ψ(0)=ψ(1)=0．取正整数M和K，并记h=1／M，τ=T／K，x
i
=ih,t
k
=kτ，
．现给出如下差分格式：
(D)
其中
1)将差分格式(D)写成标准的线性方程组Ax=b的形式；
2)分析差分格式(D)的截断误差；
3)给出差分解的先验估计式；
4)令e
i
k
=u(x
i
，t
k
)-u
i
k
，0≤i≤M，0≤k≤K，证明：存在正常数c，使得‖e
k
‖≤c(τ
2
+h
2
)，1≤k≤K，其中‖e
k
‖为e
k
=(e
0
k
，e
1
k
，…，e
M-1
k
，e
M
k
)的某种范数．答题卡