专升本高等数学(二)-导数的应用、中值定理及其应用
(总分94.5, 做题时间90分钟)
一、选择题
1. 
在下列函数中，以x=0为极值点的函数是______．
  • A.y=-x3 
  • B.y=cosx 
  • C.y=tanx-x 
  • D.y=arcsinx-x
A  B  C  D  
2. 
下列命题正确的是______．
  • A.在(a，b)内，f'(x)＞0是y=f(x)在(a，b)内为增函数的充分条件 
  • B.可导函数的驻点一定是极值点 
  • C.连续函数在[a，b]上的极大值必大于极小值 
  • D.函数y=f(x)的极值点一定是此函数的驻点
A  B  C  D  
3. 
已知y=f(x)在x0处有极大值，下列结论正确的是______．
  • A.f'(x0)=0，且f"(x0)＜0 
  • B.f'(x0)=0，或f'(x0)不存在 
  • C.f'(x0)=0 
  • D.f"(x0)＜0
A  B  C  D  
4. 
下列命题正确的是______．
  • A.若(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，则f"(x0)=0 
  • B.若f"(x0)=0，则(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点 
  • C.若f"(x0)=0，或f"(x0)不存在，则(x0，f(x0))可能为曲线y=f(x)的拐点 
  • D.以上命题都不对
A  B  C  D  
5. 
已知(0，1)是曲线y=ax3+bx+1上的拐点，则a，b的值是______．
  • A.a=1，b=-3
  • B.a≠0，b∈R 
  • C.a=1，b=0 
  • D.a∈R，b∈R
A  B  C  D  
二、填空题
1. 
曲线f(x)=x3-2x在点x=1的切线方程是______．
2. 
曲线y=x3-3x2-x的拐点坐标为______．
三、解答题
证明下列等式或不等式．
1. 
arcsinx+arccosx=；
2. 
  (x＞1)．
3. 
求函数在[0，3]上的最大值和最小值．
4. 
求函数的极值．
5. 
求曲线y=ax3+bx2+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)为拐点．
6. 
描绘函数的图形．
7. 
欲用围墙围成面积为216m2的一块巨型的地，并在正中间用一堵墙将其隔成两块．问这块土地的长和宽选取多大尺寸时，才能使所用建筑材料最省?
8. 
求曲线在它与直线y=x的交点处的切线方程．
9. 
讨论的单调性．
求下列函数的极值．
10. 
y=excosx
11. 
．
12. 
试证明：如果函数y=ax3+bx2+cx+d满足条件b2-3ac＜0，那么这个函数没有极值．
13. 
试问a为何值时，函数f(x)=asinx+sin3x在处取得极值?它是极大值还是极小值?并求此极值．
14. 
问函数y=x2-(x＜0)在何处取得最小值?并求出最小值．
15. 
求函数f(x)=，x∈[-3，3]的最大值和最小值．
16. 
求函数y=x2e-x的凹凸区间和拐点．
17. 
描绘函数y=e-x2的图形．
18. 
求极限．
19. 
某工厂每天生产x支产品的总成本为C(x)=-32x+100(元)．该产品独家经营，市场需求规律为x=75-3P，其中P为每支售价，问每天生产多少支时获利润最大?此时的每支售价为多少?
20. 
设计一个容积为Vm3的圆柱形无盖容器，已知每平方米侧面材料的价格是底面材料价格的1.5倍，问容器的底半径r与高h为多少时，材料总造价y最小?
21. 
欲围造一个面积为15000m2的长方形运动场，其正面围墙材料造价为600元/m2，其余三面围墙材料造价为300元/m2，试问正面长为多少米才能使材料费最少(设围墙的高相同)?
22. 
由拉格朗日中值定理有f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，其中a＜ξ＜b．讨论求
23. 
要产生因式f'(x)-λf(x)，如何拼凑?要产生因式λf'(x)-f(x)，如何拼凑?要产生因式λf'(x)+f(x)，又如何拼凑?
已知函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．试证明：
24. 
存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ
25. 
存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ζ)-1．
26. 
设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导．证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使
    
27. 
设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0．试证明：在(a，b)内，一定存在kf(x)+f'(x)的零点．
28. 
设f(x)在闭区间[0，1]上有二阶连续导数，且f'(0)=f'(1)=0．试证明：至少存在一点c∈(0，1)，使cf"(c)+f'(c)=0．
29. 
设函数φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明在(a，b)内至少存在一点ξ，使．
30. 
设=k，求．
31. 
试确定常数a，b，使f(x)=x-(a+bcosx)sinx为当x→0时是关于x的5阶无穷小．
32. 
用麦克劳林公式求极限．
33. 
设f(x)为连续函数，若对任意区间[a，b]都有，证明f(x)恒等于零．
34. 
设f(x)为区间[a，b]上单调减少的连续函数．证明：．