专升本高等数学(二)-微分方程求解方法、无穷级数解题方法、向量与空间解析几何
(总分71, 做题时间90分钟)
一、选择题
1.
函数y=xex是微分方程y'+ay=ex的解，则a的值为______．
A B C D
2.
若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=C1e-2x+C2ex，则该微分方程为______．
A B C D
3.
求解微分方程y"+3y'+2y=sinx时，应设一个特解为y*=______．
A B C D
4.
微分方程
的通解是______．
A B C D
5.
正项级数
收敛，那么
的收敛性为______．
A B C D
6.
已知幂级数
在x=2处收敛，那么级数在x=1处的敛散性为______．
A B C D
7.
空间坐标系中，方程y=2x-5代表______．
A B C D
8.
点(1，0，-1)在______上．
A B C D
9.
直线
代表______．
A B C D
二、填空题
1.=______．
2.=______．
3.=______．
4.已知级数收敛，则a的取值范围是______．
5.级数的收敛区间是______．
6.极限用定积分可表示成______．
7.点(-2，3，-4)是第______卦限的点．
8.平行于向量a=(6，7，-6)的单位向量是______．
9.点(a，b，c)关于xoy平面对称的点的坐标是______，关于y轴对称的点的坐标是______，关于坐标原点对称的点的坐标是______．
10.点P(-3，4，5)到x轴的距离是______；到y轴的距离是______；到z轴的距离是______．
11.过点M(2，9，-6)且与连接坐标原点及点M的线段OM垂直的平面方程为______．
三、解答题
判别级数的敛散性．
1.
2.
3.判定级数的敛散性．
4.
求极限 (1)
(2)
现将常数项级数审敛法归纳于下表中．
| 名 称 | 正项级数 | 任意项级数 | ||
| 一般任意项级数 | 交错级数 | |||
| 个别判别法 | 充要条件(部分和数列Sn有界) 比较法 比值法 |
绝对收敛收敛 | ||
| 莱布尼兹判别法 | ||||
| 通用判别法 | 若Sn→S，则级数收敛； 当n→∞，un0，则级数发散； 级数的基本性质 | |||
5.求级数的和函数．
判定级数的收敛性．
6.
7.
求下列级数收敛半径和收敛域．
8.
9.
10.求幂级数的收敛域及其和函数．
11.将有理分式函数展开成x的幂级数．
12.将有理分式函数展开成x+4的幂级数．
13.已知两点和B(3，0，2)，试计算向量
方向余弦，方向角，及在x轴上的投影．
14.求向量a=(4，-3，4)在向量b=(2，2，1)上的投影．
15.设a=(3，5，-2)，b=(2，1，4)，问λ与μ满足怎样的关系，才能使λa+μb与z轴垂直?
16.已知A(1，-1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，求与同时垂直的单位向量．
17.求过三点(1，1，-1)，(-2，-2，2)，(1，-1，2)的平面方程．
18.求过两点A(3，-2，1)，B(-1，0，2)的直线方程．
19.求过点(2，0，-3)且与直线垂直的平面方程．
20.求过点(3，1，-2)且通过直线的平面方程．
21.求点(-1，2，0)在平面x+2y-z+1=0上的投影．
22.求直线在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程．
23.设一平面垂直于平面z=0并通过从点到直线和垂线，求此平面方程．
24.已知点A(1，0，0)，B(0，2，1)，试在z轴上求一点C，使△ABC的面积最小．
答题卡